Xét quan hệ thuần nhất ≤ {\displaystyle \,\leq \,} trên một số tập hợp P , {\displaystyle P,} cho trước sao cho theo định nghĩa, ≤ {\displaystyle \,\leq \,} là một tập con của P × P {\displaystyle P\times P} và ký hiệu a ≤ b {\displaystyle a\leq b} được sử dụng thay cho ( a , b ) ∈ ≤ . {\displaystyle (a,b)\in \,\leq .} Khi đó, ≤ {\displaystyle \,\leq \,} được gọi là tiền thứ tự hoặc tựa thứ tự nếu nó vừa phản xạ vừa bắc cầu. Nghĩa là, quan hệ đó thoả mãn hai điều kiện sau:

1. Tính phản xạ: a ≤ a {\displaystyle a\leq a} với mọi a ∈ P , {\displaystyle a\in P,} và
2. Tính bắc cầu: nếu a ≤ b  và  b ≤ c  thì  a ≤ c {\displaystyle a\leq b{\text{ và }}b\leq c{\text{ thì }}a\leq c} với mọi a , b , c ∈ P . {\displaystyle a,b,c\in P.}

Tập đi kèm quan hệ tiền thứ tự được gọi là tập sắp tiền thứ tự (hoặc proset).[2] Để nhấn mạnh sự khác biệt với tiền thứ tự nghiêm ngặt, tiền thứ tự cũng có thể được gọi là tiền thứ tự không nghiêm ngặt.

Nếu tính phản xạ được thay bởi không phản xạ (vẫn giữa tính bắc cầu) thì kết quả thu được được gọi là tiền thứ tự nghiêm ngặt; Nói rõ ra, tiền thứ tự nghiêm ngặt trên P {\displaystyle P} là quan hệ hai ngôi thuần nhất < {\displaystyle \,<\,} trên P {\displaystyle P} thoả mãn hai điều kiện sau:

1. Tính hoàn toàn không phản xạ: không a < a {\displaystyle a<a} với mọi a ∈ P ; {\displaystyle a\in P;} tức là a < a {\displaystyle \,a<a} là sai với mọi a ∈ P , {\displaystyle a\in P,} và
2. Tính bắc cầu: nếu a < b  và  b < c  thì  a < c {\displaystyle a<b{\text{ và }}b<c{\text{ thì }}a<c} với mọi a , b , c ∈ P . {\displaystyle a,b,c\in P.}

Quan hệ hai ngôi P là tiền thứ tự nghiêm ngặt khi và chỉ khi nó là quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt. Theo định nghĩa, quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt là tiền thứ tự nghiêm ngặt không đối xứng (quan hệ < {\displaystyle \,<\,} được gọi là không đối xứng nếu a < b  thì  not   b < a {\displaystyle a<b{\text{ thì }}{\textit {not}}\ b<a} với mọi a , b . {\displaystyle a,b.} Ngược lại mọi tiền thứ tự nghiêm ngặt là quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt riêng phần vì mọi quan hệ bắc cầu nhưng không phản xạ thì sẽ không đối xứng.

Mặc dù hai tên gọi tương đương nhau, thuật ngữ "thứ tự riêng phần nghiêm ngặt" được dùng nhiều hơn "tiền thứ tự nghiêm ngặt". Ngược với tiền thứ tự nghiêm ngặt, có rất nhiều tiền thứ tự không nghiêm ngặt.

Các định nghĩa có liên quan

Nếu tiền thứ tự có thêm tính phản đối xứng (tức là a ≤ b {\displaystyle a\leq b} và b ≤ a {\displaystyle b\leq a} thì a = b , {\displaystyle a=b,} ) thì được gọi là quan hệ thứ tự riêng phần.

Mặt khác, nếu tiền thứ tự có thêm tính đối xứng (tức là a ≤ b {\displaystyle a\leq b} thì b ≤ a , {\displaystyle b\leq a,} ) thì được gọi là quan hệ tương đương.

Tiền thứ tự có tính toàn phần nếu a ≤ b {\displaystyle a\leq b} hoặc b ≤ a {\displaystyle b\leq a} với mọi a , b ∈ P . {\displaystyle a,b\in P.}

Tập sắp tiền thứ tự P {\displaystyle P} có thể được viết thành công thức bằng phạm trù mỏng trong lý thuyết phạm trù; nghĩa là một phạm trù có tối đa một cấu xạ giữa vật này sang vật khác. Ở đây vật tương ứng các phần tử thuộc P , {\displaystyle P,} và có một cấu xạ giữa hai phần tử có quan hệ với nhau và không có nếu ngược lại.

Lớp sắp tiền thứ tự là lớp đi kèm với tiền thứ tự. Mọi tập hợp đều là lớp và do đó mọi tập sắp tiền thứ tự là lớp sắp tiền thứ tự.